Question

如图，已知二次函数y=-ax²+4ax-3的图象与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标和抛物线的对称轴；
（2）若AB=2，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形的面积与△AOC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据二次函数与坐标轴交点求法得出x=0时，y的值，即可得出答案，利用对称轴公式求出即可；
（2）利用AB=2，对称轴为x=2，得出A，B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）根据以P、A、B为顶点的三角形的面积与△AOC的面积相等，得出△AOC的面积，即可得出以P、A、B为顶点的三角形的高，再代入二次函数解析式即可得出答案．
【解析】
（1）∵二次函数y=-ax2+4ax-3的图象与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
∴当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）；
∴抛物线的对称轴为：x=-=2；

（2）∵AB=2，对称轴为x=2，
∴A（1，0），B（3，0），
∴代入二次函数解析式得：
0=-a+4a-3，
∴解得：a=1，
∴y=-x2+4x-3；

（3）∵△AOC的面积为：×AO×CO=×1×3=，
以P、A、B为顶点的三角形的面积为时，AB=2，
∴△PAB，AB边上的高PE=，
当y=-时，-=-x2+4x-3；
解得：x=，
∴P点坐标为：（，-），（，-），
当y=时，=-x2+4x-3；
此方程没有实数根，
∴P点坐标为：（，-），（，-）．