Question

如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
（1）试说明：BP=DP；
（2）如图2，若正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请画图用反例加以说明；
（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与正方形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论；
（4）旋转的过程中AP和DF的长度是否相等，若不等，直接写出AP：DF=______

Answer

（1）利用三角形全等证明PB=PD．
（2）通过反例说明，如点P在正方形的边上．
（3）由旋转的特点找到DF和BE，再利用三角形全等证明它们相等．
（4）通过特殊位置如图1可判断它们是否相等，也可求出它们的比．
（5）把面积的最值问题转化为三角形的高即C点到BD距离大小问题．
【解析】
（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAP=∠DAP=45°，BA=DA，又AP为公共边，
∴△BAP≌△DAP，
∴PB=PD；

（2）不是总有BP=DP．如图，当P点在BC上时，显然DP＞BP，

（3）BE=DF．
证明如下：如图2，连DF，BE．

∵∠1+∠FCB=∠2+∠FCB=90°，
∴∠1=∠2，
又∵CF=CE，CD=CB，
∴△CDF≌△CBE，（SAS）
∴BE=DF；

（4）旋转的过程中AP和DF的长度不相等．它们的比值不变，AP：DF=：1．
理由如下：如图

过B点作BM⊥BE，且BM=BE．则△BMA≌△CEM．所以∠AMB=∠BEC，EC=AM．由（3）得BM=BE=DF，
又∵EC=PE，
∴AM=PE，而∠3=∠AMB-135°，∠4=∠BEC-90°-45°，
∴∠3=∠4，
∴四边形AMEP是平行四边形，
∴AP=ME，
由（3）得BM=BE=DF，
所以AP=BE=DF．
故填：1．

（5）正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中，△PBD的面积存在最大值和最小值，
当P点到BD的距离最小时，△PBD的面积最小，而P点到C点的距离不变，
所以CP⊥BD时，△PBD的面积最小，此时P点在AC上，
S△BDP=×4×=4，
当P点到BD的距离最大时，△PBD的面积最大，而P点到C点的距离不变．
所以CP⊥BD时，△PBD的面积最大，此时P点在AC的延长线上．S△BDP=×4×3=12．