Question

已知反比例函数和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知A是第一象限内两个函数的交点，求点A的坐标；
（3）在（2）中，问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将点（a，b），（a+k，b+k+2）分别代入一次函数解析式，即可得出关于b的等式，即可得出答案；
（2）利用（1）中k的值，得出反比例函数解析式，将两函数组成方程组，求出交点坐标即可；
（3）分别根据当AP1⊥x轴时，当AO=OP2时，当AO=AP3时，当AO=P4O时，得出答案即可．
【解析】
（1）∵一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，
∴b=2a-1①，2a+2k-1=b+k+2②，
∴整理②得：b=2a-1+k-2，
∴由①②得：2a-1=2a-1+k-2，
∴k-2=0，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=；

（2）解方程组 ，
解得：，，
∴A（1，1），B（ ，-2）；

（3）当AP1⊥x轴，AP1=OP1，∴P1（1，0），
当AO=OP2，∴P2（ ，0），
当AO=AP3，∴P3（2，0），
当AO=P4O，∴P4（-，0）．
∴存在P点P1（1，0），P2（ ，0），P3（2，0），P4（-，0）．