Question

如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，
求：（1）AP+BP的最小值．
（2）AP-BP的最大值．

Answer

（1）本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
（2）连接AO，BO，AB，过点A作AN⊥OB，利用AP-BP最大值=AB求出即可．
【解析】
（1）作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN^的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=2，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．

（2）连接AO，BO，AB，过点A作AN⊥OB，
∵CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，CD=4，
∴∠AOB=30°，AN=AO=1，
∴ON=，BN=2-，
∴AP-BP最大值=AB==2．