Question

填空：
（1）已知（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，则x²+y²的值等于    ．
（2）已知实数x、y满足x²-2x+4y=5，则x+2y的最大值为    ．
（3）设a²+b²=4ab且a≠b，则的值等于    ．

Answer

（1）利用整体的思想把原方程看作是关于x2+y2的一元二次方程，利用因式分解法求解即可，要注意的是x2+y2是非负数；
（2）利用x来表示x+2y，从而得到关于x的二次函数，然后配成顶点式，根据二次函数的性质确定最大值；
（3）先把a2+b2=4ab看作为关于a的一元二次方程，解方程求出a，即得到a和b的关系，然后代入所求的代数式，再利用二次根式的性质化简即可．
【解析】
（1）∵（x2+y2+1）（x2+y2-3）=5，
∴（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，
∴（x2+y2+2）（x2+y2-4）=0，
∴x2+y2-4=0
∴x2+y2=4；
（2）∵x2-2x+4y=5，
∴4y=-x2+2x+5，
∴2（x+2y）=-x2+4x+5
=-（x-2）2+9，
∵a=-1＜0，
当x=2时，2（x+2y）有最大值9，即x+2y有最大值；
（3）∵a2+b2=4ab，
∴a2-4ab+b2=0，
∴a==（2±）b，
当a=（2+）b，
原式===；
当=（2-）b，
原式===-，
∴的值等于±．
故答案为4；；．