Question

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB
（1）求证：mn=-6；
（2）当S_△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式．

Answer

（1）根据三角形相似的判定得出△OBC∽△AOD，再利用相似三角形的性质得出比例式，进而表示出BC=1，AD=6，CO=-n，DO=m，求出即可；
（2）利用三角形面积得出S梯形ABCD-S△OBC-S△AOD进而求出A，B两点的坐标，利用函数性质得出一般式，代入求出即可．
（1）证明：作BC⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为C，D．
∵OA⊥OB，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠AOD=∠OBC，
∴△OBC∽△AOD，
∴
∵点A（m，6），B（n，1），
∴BC=1，AD=6，CO=-n，DO=m，
∴，
∴mn=-6；

（2）【解析】
∵S△AOB=10，
∴S梯形ABCD-S△OBC-S△AOD=（1+6）×（-n+m）-（-n）-×6m=10，
∴-6n+m=20，
∴m=20+6n，
∵mn=-6；
∴n（20+6n）=-6，
整理得：3n2+10n+3=0，
解得：n=-3或-，
∵0＜m＜3，当n=-时，m=18不合题意舍去，
∴n=-3，m=2，
∵抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，
∴假设二次函数解析式为：y=ax2+c．
将A（2，6），B（-3，1）分别代入得：
，
解得：，
∴二次函数的关系式为：y=-x2+10．