Question

如图：AD是△ABC的高，M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点．
（1）求证：ME=DN；
（2）若BC=AD=12，AC=13，求四边形DEMN的面积．

Answer

（1）根据中位线的性质得到四边形MNED是梯形．又因为AD⊥BC，所以MN=BC即ME=DN，那么推出四边形EMND为等腰梯形．
（2）利用四边形MECN为平行四边形，可以得到EC=MN=6，利用勾股定理可以求得DC=5，即可得到ED=6-5=1，然后利用梯形的面积计算梯形的面积即可．
【解析】
（1）证明：∵M、E、N分别是AB、BC、AC的中点
∴根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得ND=AC，
根据三角形中位线定理，得 NM=BC．
MN∥BC，EM∥AC，
∴四边形MECN为平行四边形，
∴EM=NC．
又∵DE＜EC，
∴ED＜MN．
∴四边形MEDN是梯形．（3分）
又∵AD⊥BC，
∴DG=AC．
∴EM=DN．

（2）∵AD=12，AC=13，
∴CD=5，
∵四边形MECN为平行四边形，
∴EC=MN=6，
∴ED=6-5=1，
∴四边形DEMN的面积==21．