Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．AH为等腰梯形的高．
（1）求AH的长？
（2）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意即可推出BH=（BC-AD）÷2，然后根据勾股定理，即可推出高AH的长度；
（2）根据题意画出BE的高FM，然后，推出梯形周长的一半（即12），即可知BF=12-x，通过求证△FBM∽△ABH，即可推出高FM关于x的表达式，最后根据三角形的面积公式，即可表示出△BEF的面积；
（3）通过计算等腰梯形的面积，即可推出其一半的值，然后结合结论（2）即可推出结论；
（4）首先提出假设成立，然后，分情况进行讨论，①若当BE+BF=8，△BEF的面积=S等腰梯形ABCD=，根据题意列出方程，求出x；②若当BE+BF=16，△BEF的面积=S等腰梯形ABCD=时，根据题意列出方程，求出x，最后即可确定假设不成立，即可推出结论．
【解析】
（1）∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴BH=（BC-AD）÷2=3，
∴AH==4；

（2）作FM⊥BC于M．
∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD的周长=24，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，
∴BF+BE=12，
∵BE=x，
∴BF=12-x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴，
∴FM=，
∴△BEF的面积=•x•=；

（3）假设线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分．
∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD面积的一半=4（4+10）÷2÷2=14，
∵当线段EF将等腰梯形ABCD的周长平分时，△BEF的面积关于x的函数表达式为，
∴14=，
∴整理方程得：-x2+12x-35=0，
∵△=b2-4ac=144-140=4＞0，
解方程得：x1=5，x2=7，
∵当x1=5，BF=7＞AB，
∴x1=5，不符合题意，舍去，
∴当x=7时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分；

（4）假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．
∵等腰梯形ABCD的周长=24，等腰梯形ABCD的面积=28，
则①若当BE+BF=8，△BEF的面积=S等腰梯形ABCD=，
∵BE=x，
∴BF=8-x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴，
∴FM=，
∴△BEF的面积=，
当梯形ABCD的面积=时，
∴=，
整理方程得：-3x2+24x-70=0，
∵△=-264＜0，故方程无实数解，
∴此种情况不存在，
②若当BE+BF=16，△BEF的面积=S等腰梯形ABCD=时，
∴FM=，
∴△BEF的面积=，
∴=，
整理方程得：-3x2+48x-140=0，
△=b2-4ac=624，
解方程得：x1=，x2=（舍去），
∴x=．
∴当x=时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．