Question

如图三角形ABC中，有一内接矩形EFGH，AD为BC边上的高，BC=10，AD=8，矩形面积为S，AD与EF交于K，设GF为x，HG为y．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）当x取何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer

（1）根据题意用含x的式子表示出AK，然后通过求证△AHG∽△ABC，根据对应边成比例，即可推出y与x的函数关系式；
（2）根据矩形的面积公式，则可推出S=xy，然后根据（1）的结论，即可表示出S关于x的二次函数式，根据二次函数的性质，即可推出x取何值时，S的值最大．
【解析】
（1）∵矩形EFGH，AD⊥BC，
∴HG∥BC，
∴AK⊥HG，KD=GF，
∴△AHG∽△ABC，
∵BC=10，AD=8，GF为x，HG为y．
∴AK=8-x，
∵AK：AD=GH：BC，
∴，
∴y=-；

（2）∵S矩形EFGH=GH•GF=xy=x•（-），
∴S=，
∴x==4，
∴当x=4时，S的值最大．