Question

如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP=QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．

Answer

点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．
【解析】
①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC=30°，
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．

②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵OC=OQ，
∴∠OQP=（180°-∠QOC）×①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=（180°-∠OQP）×②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；

③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）×①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=（180°-∠OQP）×②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④联立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．
故答案为：40°、20°、100°．