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如图1,在平面上,给定了半径为r的圆O,对于任意点P,在射线OP上取一点P′,使...

如图1,在平面上,给定了半径为r的圆O,对于任意点P,在射线OP上取一点P′,使得OP•OP′=r2,这把点P变为点P的变换叫做反演变换,点P与点P′叫做互为反演点.
(1)如图2,⊙O内外各一点A和B,它们的反演点分别为A和B′.求证:∠A′=∠B;
(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形,那么这两个图形叫做互为反演图形.
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①选择:如果不经过点O的直线l与⊙O相交,那么它关于⊙O的反演图形是( )
A、一个圆;B、一条直线;C、一条线段;D、两条射线
②填空:如果直线l与⊙O相切,那么它关于⊙O的反演图形是______,该图形与圆O的位置关系是______
(1)根据题中给出的条件可得出OB•OB′=OA•OA′=r2,将等积式转换为比例式后即可得出△OAB和△OBA相似,由此可证得所求的条件. (2)①应该是一个过O点过两个交点的圆,反演图形中圆和直线都看成圆的话,结论会很简单,一个圆关于⊙O反演图形仍然是圆,这时直线可以看成圆心无限远半径无限大的圆, 根据OP•OP′=r2知: ⊙O外的点的反演点在⊙O内; ⊙O内的点的反演点在⊙O外; ⊙O上的点的反演点在⊙O上; 直线与⊙O相交的点的反演点还是该点, 直线上的无穷远处的点反演到圆心, 于是三点确定一个圆. ②如果直线l与⊙O相切,那么它关于⊙O的反演图形是过切点和O点的圆,该图形与圆O的位置关系是内切,既然直线只与⊙O有一个交点,那么反演图形与⊙O只有一个交点,即相切. 直线l上有无限远点,于是反演图形过⊙O,于是反演图形为⊙O的内切圆. 【解析】 (1)由题意知:OA•OA′=OB•OB′=r2,, ∵∠AOB=∠B′OA′, ∴△AOB∽△B′OA′, ∴∠A′=∠B, (2)①选择A; ②圆;内切.
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考点分析:
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不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l于E,BF⊥l于F.
(1)如图,在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形;
(2)请你观察(1)中所画的图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其它字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程);
(3)请你选择(1)中的一个图形,证明(2)所得出的结论.
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(1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有______,是中心对称图形的有______(分别用三个图的代号a、b、c填空).
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(1)求证:AF=DF;
(2)求∠AED的余弦值;
(3)如果BD=10,求△ABC的面积.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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