Question

如图，已知圆内接△ABC中，AB＞AC，D为的中点，DE⊥AB于E，求证：BD²-AD²=AB•AC．

Answer

在BA上截取BF=CA，连DF，DC，由D为的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE-EF=BE-AE=CA，因此BD2-AD2=BE2-AE2=（BE+AE）（BE-AE）=AB•AC．
证明：在BA上截取BF=CA，连DF，DC，如图，
∵D为的中点，
∴DB=DC，
又∵∠DBF=∠ACD，
∴△DBF≌△DCA，
∴DF=DA，
而DE⊥AB，
∴AE=EF，
∴BF=BE-EF=BE-AE=CA，
又∵BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，
∴BD2-AD2=BE2-AE2=（BE+AE）（BE-AE）=AB•AC，即证．