Question

如图，直径为13的⊙O′经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求C点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，在⊙O′上是否存在点P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据根与系数的关系写出OA+OB和OA•OB的值．连接AB，根据90°的圆周角所对的弦是直径，再结合勾股定理列方程求解．
（2）若OC2=CD•CB，则三角形OCB相似于三角形DCO，则∠COD=∠CBO．又∠COD=∠CBA，则∠CBO=∠CBA，所以点C是弧OA的中点．连接O′C，根据垂径定理的推论，得O′E⊥OA．再进一步根据垂径定理和勾股定理进行计算即可．
（3）首先求得直线BC的解析式，求得D的坐标，根据面积相等即可求得P的纵坐标，根据圆的直径即可作出判断．
【解析】
（1）连接AB，∵∠BOA=90°，
∴AB为直径，根与系数关系得OA+OB=-k，OA•OB=60；
根据勾股定理，得OA2+OB2=169，
即（OA+OB）2-2OA•OB=169，
解得k2=289，∴k=±17（正值舍去）．
则有方程x2-17x+60=0，x=12，或5．
又OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．

（2）若OC2=CD•CB，则△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
所以点C是弧OA的中点．
连接O′C交OA于点E，根据垂径定理的推论，得O′E⊥OA，
根据垂径定理，得OE=6，
根据勾股定理，得O′E=2.5，
∴CE=4，即C（6，-4）．

（3）设直线BC的解析式是y=kx+b，
则
解得：，
则直线BC的解析式是y=-x+5，
令y=0，解得：x=，
则OD=，AD=12-=，
∴S△ABD=×5×=．
若S△ABD=2S△OBD，P到x轴的距离是h，
则×h=，解得：h=13．
而⊙O′的直径是13，因而P不能在⊙O′上，
故P不存在．