Question

若A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈是一个凸八边形，已知∠A₁=∠A₅，∠A₂=∠A₆，∠A₃=∠A₇，∠A₄=∠A₈．试证明该凸八边形内任一点到八条边的距离之和是一个定值．

Answer

将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．
【解析】
延长A8A1，A3A2相交于点M，延长A2A3，A5A4相交于点N，延长A4A5，A7A6相交于点P，延长A6A7，A1A8相交于点Q，如图，
由∠A1=∠A5，∠A2=∠A6，得∠MA1A2=∠PA5A6，∠MA2A1=∠PA6A5，有∠M=∠P，
同理可证∠N=∠Q，
∴MNPQ为平行四边形，
即A1A8∥A4A5，A2A3∥A7A6，
同理可证A1A2∥A5A6，A3A4∥A7A8，
∴八边形内任意一点到A2A3和A7A6的距离和为平行线A2A3和A7A6间的距离，是一个定值．
可以推得凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．