Question

已知x₁、x₂、…、x₄₀都是正整数，且x₁+x₂+…+x₄₀=58，若x₁²+x₂²+…+x₄₀²的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于    ．

Answer

根据把58写成40个正整数的和的写法只有有限种可知，x12+x22+…+x402的最小值和最大值是存在的，设x1≤x2≤…≤x40，再根据完全平方公式可得到（x1-1）2+（x2+1）2=x12+x22+2（x2-x1）+2＞x12+x22，进而可得到当x40=19时，x12+x22++x402取得最大值；同理设存在两个数xi，xj，使得xj-xi≥2（1≤i≤j≤40），则（xi+1）2+（xj-1）2=xi2+xj2-2（xj-xi-1）＜xi2+xj2，当x1=x2=x22=1，x23=x24=x40=2时，x12+x22+…+x402取得最小值．
【解析】
因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，
故x12+x22+…+x402的最小值和最大值是存在的．
不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2=（x1-1）+（x2+1），且（x1-1）2+（x2+1）2=x12+x22+2（x2-x1）+2＞x12+x22，
所以，当x1＞1时，可以把x1逐步调整到1，这时x12+x22+…+x402将增大；
同样地，可以把x2，x3，x39逐步调整到1，这时x12+x22+…+x402将增大．
于是，当x1，x2，x39均为1，x40=19时，x12+x22+…+x402取得最大值，即A=+192=400．
若存在两个数xi，xj，使得xj-xi≥2（1≤i≤j≤40），则（xi+1）2+（xj-1）2=xi2+xj2-2（xj-xi-1）＜xi2+xj2，
这说明在x1，x3，x39，x40中，
如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，x12+x22+…+x402将减小．
所以，当x12+x22+…+x402取到最小时，x1，x2，x40中任意两个数的差都不大于1．
于是当x1=x2=x22=1，x23=x24=x40=2时，x12+x22+…+x402取得最小值，
即，
故A+B=494．