Question

如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．

Answer

（1）由三角形ABC的面积可求出AB边上的高；
（2）由相似三角形对应高的比等于相似比，可用含x的代数式表示GF，得到水池的面积y关于x的二次函数，由二次函数的性质，可求面积最大时x的值；
（3）根据相似形可算出BE小于1.85，大树在最大水池的边上，为了避开，以C为点在三边上各去一点． 矩形二边与三角形二直角边重合．
【解析】
如图，（1）过点C作CI⊥AB，交GF于H，在△ABC中用勾股定理得：AB=10，
∵S△ABC=BC=AB•CI，
∴×6×8=×10×CI，
∴CI=4.8；
∴△ABC中AB边上的高h=4.8．

（2）∵水池是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∵CH，CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高，
∴=，
∴=，
∴GF=10-，
∵10-＞0，
∴0＜x＜，
设水池的面积为y，则
y=x（10-）=-x2+10x，
当x=-=2.4时，水池的面积最大；

（3）∵FE⊥AB，CI⊥AB，
∴FE∥CI，
∴△BFE∽△BCI，
∴FE：CI=BE：BI，
又∵FE=2.4，CI=4.8，
在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6，
∴BE===1.8，
∵BE=1.8＜1.85，
∴这棵大树在最大水池的边上．
为了保护这棵大树，设计方案如图：