Question

如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．
（1）求证：△ACP∽△DBP．
（2）写出y关于x的函数解析式．
（3）若CD=8时，求S_△ACP：S_△DBP的值．

Answer

（1）△ACP和△DBP中，根据圆周角定理即可得到两组对应角相等，由此得证；
（2）根据相似三角形得到的比例线段即可求出y、x的函数关系式；
（3）已知CD=CP+PD=8，联立（2）的函数关系式，即可求得CP、PD的长，进而可根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出所求的结果．
证明：（1）∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP；（3分）

（2）由（1）可得：CP•PD=AP•PB，即xy=12；
∴y=（3分）

（3）由题意得；（2分）
由②得y=8-x，代入①得x（8-x）=12
得x1=2，x2=6（2分）
∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2（2分）
S△ACP：S△DBP=CP2：BP2=22：32=4：9或S△ACP：S△DBP=CP2：BP2=62：32=4：1．（2分）