Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．
（1）求AC的长；
（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；
（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．

Answer

（1）过点A作AF⊥BC于F，在直角△ABF中运用三角函数即可求得AF的长，再在直角△ACF中，根据勾股定理即可求解；
（2）过点P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根据勾股定理即可求得：BP．根据相似三角形对应边的比相等即可求得x的值；
（3）当△ABE是等腰三角形时，应分为，AE=AB，BE=AB，AB=AE（根据∠BAE是直角，可得这种情况不可能）几种情况讨论．
【解析】
（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，
BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×
在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴（1分）

（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，
∴（1分）
如果△ABP和△BCE相似，
∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴即
解得（不合题意，舍去）
∴x=8（1分）

（3）①当AE=AB=4时
∵AP∥BC，
∴
即，
解得，
②当BE=AB=4时
∵AP∥BC，
∴，
即，
解得（不合题意，舍去）
③在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∵，
在线段FC上截取FH=AF，
∴∠FAE＞∠FAH=45°
∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE
∴AE≠BE．
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或