Question

已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．
（1）当n=4时，求m的值；
（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；
（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？

Answer

（1）此题可有两种解法：①连接OB，利用勾股定理求解，②延长PO交⊙O于另外一点，利用切割线定理求解；
（2）若△PBC是等边三角形，则必有PB=PC，由于PB是⊙O的切线，且C在⊙O上，那么若存在符合条件的C点，则PC必与⊙O相切，且切点为C（切线长定理）．若△PBC是等边三角形，则∠BPC=60°，∠BPO=30°，可连接OB，在Rt△OBP中，通过解直角三角形即可求得AP的长即m的值；
（3）若存在等腰△PBM，且以PB为底，那么M点必在线段PB的垂直平分线上，而⊙O上存在唯一点M，那么线段PB的中垂线与⊙O相切，且切点为M．连接OM，易证得四边形OBDM是正方形，则BP=2BD=2OB=4，即n=4，在Rt△OBP中，利用勾股定理即可求得OP的长，进而可得到AP即m的值．
在上面已经求得PB=4，若M能与PB构成等腰三角形（PB不一定是底边），可有两种情况考虑：
①BM=PB=4，由于⊙O的半径为2，那么过B作⊙O的直径BM，此时M点就符合题意；
②PB=PM=4，此种情况与（2）题相同，此时M、C重合，即PM与⊙O相切，且切点为M．
由于BM=PM在上面已经讨论过，所以能与PB构成等腰三角形的共有3点．
【解析】
（1）解法一：连接OB．

∵PB切⊙O于B，
∴∠OBP=90°，
∴PO2=PB2+OB2，
∵PO=2+m，PB=n，OB=2，
∴（2+m）2=n2+22m2+4m=n2；
n=4时，解，得：
（舍去），．
∴m的值为．
解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线．
又∵PB切⊙O于B，
∴PB2=PA•PQ，（1分）
∵PB=n，PA=m，PO=m+4，
∴n2=m2+4m，（3分）
当n=4时，解得（舍去），，
∴m的值为．（5分）

（2）存在点C，使△PBC为等边三角形；（6分）
当∠OPB=30°时，过点P作⊙O的另一条切线PC，C为切点，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，∴△PBC为等边三角形；（7分）
连接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，（8分）
∴m=PA=OP-OA=2．（9分）

（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D，当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求；（10分）
连接OB、OM，易得四边形OMDB为正方形，

∴BD=DM=OM=2，
∴n=PB=4．（12分）
由（1）得n=4时，m=，
∴当m=时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形，（13分）
此时⊙O上共有3个点能与PB构成等腰三角形．（14分）
（这3点分别是M，M1，M2．其中M是PB中垂线与⊙O的切点，M1是延长BO与⊙O的交点，M2是点B关于OP的对称点）