Question

已知：如图，∠MAN=45°，B为AM上的一个定点．若点P在射线AN上，以P为圆心，PA为半径的圆与射线AN的另一个交点为C．请确定⊙P的位置，使BC恰与⊙P相切．
（1）画出⊙P；（不要求尺规作图，不要求写画法）
（2）连接BC、BP并填空：
①∠ABC=______°；
②比较大小：∠ABP______∠CBP．（用“＞”“＜”或“=”连接））

Answer

（1）因为⊙P与BC相切，所以BC⊥AN．作BC⊥AN于点C，以AC的中点P为圆心，以AC为直径作圆即可；
（2）①因为AC⊥BC，∠MAN=45°，根据三角形内角和定理得∠ABC的度数．
②过B点作⊙P的另一条切线BD，切点为D，进而根据切线长定理比较大小．
【解析】
（1）图形见右．                               （2分）

（2）①∵⊙P与BC相切，C为切点，
∴BC⊥AC，∠ACB=90°．
∵∠MAN=45°，∴∠ABC=45°；（3分）
②∠ABP＜∠CBP．                                （4分）
理由：过B点作⊙P的另一条切线BD，切点为D．
则∠CBP=∠DBP．
又∠DBP＞∠ABP，
∴∠ABP＜∠CBP．