Question

已知方程（k-1）x²+2kx+k+3=0①．
（1）k取何值时，方程①有一个实数根；
（2）k取何值时，方程①有两个不相等的实数根；
（3）当方程①有两个相等的实数根时，求y²+（a-4k）y+a=0的整数根．（其中a为正整数）

Answer

（1）方程是一元一次方程时，方程有一个实数根；
（2）方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于零；
（3）根据方程有两个相等的实数根求得k的值，代入新的方程中求a的值即可．
【解析】
（1）∵方程①有一个实数根，
∴k-1=0，
∴k=1，
∴k取1时，方程①有一个实数根；
（2）∵方程①有两个不相等的实数根；
∴b2-4ac=4k2-4（k-1）（k+3）＞0
解得：k＜，
∵k-1≠0，
∴k≠1，
∴当k＜且k≠1时，方程①有两个不相等的实数根；
（3）∵方程①有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=4k2-4（k-1）（k+3）=0，
解得：k=，
∴原方程为：y2+（a-6）y+a=0
解得y=
∴整数根为3，2，1．