Question

已知：△ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点．
（1）如图1，当∠ACB=120°时，∠MPN的度数为______；
（2）如图2，当∠ACB=α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？给出你的证明．

Answer

（1）设AC中点G、BC中点H，连接MG、PG；NH，PH．利用中位线定理可以证明△MGP全等于△PHN，然后利用角之间的关系可以得到60°，
（2）由题意可知MF是等边△ACD的中位线，PG是△ABC的中位线，根据中位线的性质可知四边形CFPG是平行四边形，再根据平行四边形的性质可证明△MFP≌△PGN，再根据题意可得出∠MPN=60°．
【解析】
（1）设AC中点G、BC中点H，连接MG、PG；NH，PH．
由中位线定理，得MG∥AD，MG=AD；
PG∥BC，PG=BC；
PH∥AC，PH=AC；
HN∥BE，HN=BE．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AD=AC，BC=BE，
∠MGC=∠DAC=60°，∠CGP=∠ECB=60°，∠PHC=∠ACD=60°，∠CHN=∠CBE=60°．
在△MGP与△PHN中，，
∴△MGP≌△PHN（SAS），
∴∠MPG=∠PNH．
∵∠PNH+∠NPH=180°-∠PHN=60°，
∴∠MPG+∠NPH=60°．
∠2+∠3=∠1+∠ABC=180°-∠ACB=60°，
∴∠MPN=180°-（∠MPG+∠NPH）-（∠2+∠3）=60°．
故∠MPN的度数为 60；

（2）∠MPN的度数不变，仍是60°，理由如下：
证明：取AC、BC的中点分别为F，G，
连接MF、FP、PG、GN，
∵MF是等边三角形ACD的中位线，
∴MF=AD=AC，MF∥AD，
∵PG是△ABC的中位线，
∴PG=AC，PG∥AC，
∴MF=PG，
同理：FP=CG，
∴四边形CFPG是平行四边形，
∴∠CFP=∠CGP，
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP，
即∠MFP=∠PGN，
∴△MFP≌△PGN（SAS），
∴∠FMP=∠GPN，
∵PG∥AC，
∴∠1=∠2，
在△MFP中，∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°，
又∵∠MFC=60°，
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°，
∵∠CFP=∠1+∠3，
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°，
∵∠1=∠2，∠FMP=∠GPN，
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°，
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°，
∴∠MPN=60°．