Question

如图，在直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，如此重复操作下去，得到线段OP₃，OP₄，…，则：
（1）点P₅的坐标为    ；
（2）落在x轴正半轴上的点P_n坐标是    ，其中n满足的条件是    ．

Answer

（1）易得P5在第三象限的角平分线上，先得到OP5的长度，进而判断P5的坐标即可；
（2）易得x轴正半轴上的点横坐标与底数为2的幂相关，根据每8个点循环一圈可得n满足的条件．
【解析】
（1）由图可得P5在第三象限的角平分线上，
∵OP1=21，OP2=22，
∴OP5=25=32，
作P5A⊥x轴，P5B⊥y轴，
∴AO=OB=16，
∴点P5的坐标为（-16，-16）；
故答案为（-16，-16）；

（2）由（1）可得落在x轴正半轴上的点Pn坐标是（2n，0），
∵每8个点循环一圈，
∴n满足的条件是n=8k（k=0，1，2，…），
故答案为（2n，0），n=8k（k=0，1，2，…）．