Question

如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四边形ABCD的面积．

Answer

先求△ABD的面积，在求证△ABD与△BCD的面积相等，根据四边形ABCD面积为△ABD和△BCD面积之和求解．
【解析】
∵AE=EC，AB=AE，
∴AB2=2AE2=AE•AC，
∴AB：AC=AE：AB，
又∠EAB=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
从而AB=AD．
连接AO，交BD于H，连接OB，
∵AB=AD，
∴AO⊥BD，
∴BH=HD，
BO=2，BH=，
则BH=HD=．
∴OH===1，AH=OA-OH=2-1=1．
∴S△ABD=BD•AH=×2×1=，
∵E是AC的中点，∴S△ABE=S△BCE，
S△ADE=S△CDE，∴S△ABD=S△BCD，
∴S四边形ABCD=2S△ABD=2．