Question

如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=AD，∠BCD=120°，当⊙O的半径为8cm时，求：△ABD的内切圆面积．

Answer

本题中根据AB=AD，∠BCD=120°，我们不难得出三角形ABD是个等边三角形，那么根据等边三角形四心合一的特点（内心，外心，重心，垂心重合）．我们知道三角形ABD的内切圆的半径就是点O到三角形各边的距离，如果连接OB，OD，过O作OE⊥BD，OE就是内切圆的半径，因此求出OE的长就是问题的关键．有OB的长，有BE的长（BE是BD的一半），在直角三角形OBE中就能求出OE的长，有了半径，圆的面积自然就能求出来了．
【解析】
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠BCD=120°，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形；
连接OB，OD，过O作OE⊥BD于E，则∠OBD=30°；
∵OB=8cm，
∴OE=4cm，
∴△ABD的内切圆面积=16π．