Question

如图①，已知抛物线y=ax²+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax²+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据抛物线经过原点、A点、M点可得抛物线的解析式；
（2）根据将抛物线向右平移m个单位得到平移后的解析式，将两个解析式组成一个方程组，解此方程组得P点的纵坐标，即△CDP的高，而底边CD的长据原抛物线可知，三角形面积可求；
（3）画出图形，根据圆和菱形的性质得出△BAE是直角三角形，若△BAE∽△A′EF，则△A′EF也是直角三角形，故可求A′F，则F坐标可求．
【解析】
（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点可得，
c=0，
由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0），
将他们的坐标值分别代入解析式可得，
，
解得，，
故该抛物线的解析式为：y=-2x2+4x；

（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为：
y=-2（x-m）2+4（x-m），
原抛物线与平移后的解析式交于P点，
则有，
解得，，
即P点坐标为：（，），
那么△CDP的高为：，而CD=2，
则S=×2×（），
化简得，S=；

（3）如图，
四边形BAA′B′为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2，
B点的纵坐标为：=，
那么tan∠BA′A=，
故∠BA′A=∠A′BA=30°，
A′E=AE==，
则=正好是tan30°的值，
故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF，
则∠A′EF=90°，
A′F==，
则AF=2-=，F横坐标为：2+=，
故在x轴上存在一点F，F的坐标为：（，0）．