Question

如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（ ）

A．
B．4.75
C．5
D．4.8

Answer

设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三边关系知，CO+OD＞CD；只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．
【解析】
如图，∵∠ACB=90°，
∴EF是直径，
设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，
∴EF为直径，OC+OD=EF，
∴CO+OD＞CD，
∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值
∴由三角形面积公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．
故选D．