Question

如图，在正方形ABCD中，E为线段CD上一点，且DE=3CE，M、N分别是AD、AE的中点，点F在CD的延长线上，且∠DMF=∠DAE．
（1）求cos∠DAE的值；
（2）求证：四边形MNEF是等腰梯形．

Answer

（1）根据题意，设DC=4a，可得DE=3a，根据勾股定理得AE=5a，从而可求cos∠DAE的值；
（2）由三角形的中位线定理得MN∥DE且MN=DE，∠AMN=90°，再根据ASA证明△AMN≌△MDF，所以MF=AN，又AN=NE，所以MF=NE，又MN∥EF且MN≠EF，即四边形MNEF是等腰梯形．
【解析】
（1）在正方形ABCD中，设DC=4a，
∵DE=3CE，
∴DE=3a，
∴在Rt△ADE中，AE=5a，
∴cos∠DAE==；
（2）∵M、N分别是AD、AE的中点，
∴MN∥DE且MN=DE，
∴∠AMN=90°．
在△AMN和△MDF中，有∠AMN=∠MDF=90°，AM=MD，∠DAE=∠DMF，
∴△AMN≌△MDF，
∴MF=AN，
又AN=NE，∴MF=NE，
又MN∥EF且MN≠EF，
∴四边形MNEF是等腰梯形．