Question

已知△ABC中，AC=3，BC=4，AB的长是方程x²-4x-5=0的一个根，则△ABC的内切圆半径与外接圆半径分别是（ ）
A．1和2.5
B．2和5
C．2和2.5
D．3和5

Answer

解方程求出AB，根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°，连接OD、OE，证出AF=AD，BF=BE，CE=CD，正方形ODCE，推出DO=DC=CE=OE，设OD=DC=CE=OE=r，得到方程3-r+4-r=5，求出r即可；根据R=AB即可求出外接圆半径．
【解析】
解方程x2-4x-5=0得：x1=-1，x2=5，
∴AB=5，
∵32+42=25，52=25，
∴AC+BC2=AB2，
∴∠C=90°，

连接OD、OE，
∵圆O是△ABC的内切圆
∴AF=AD，BF=BE，CE=CD，OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴DO=DC=CE=OE，
设OD=DC=CE=OE=r，
则3-r+4-r=5，
∴r=1，
Rt△ABC的外接圆的半径是×5=2.5．
故选A．