Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐系中画出这条抛物线；
（2）若点（x，y）在抛物线上，且1≤x≤4，写出y的取值范围；
（3）设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合），交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S
①求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；
②求S取得最大值时P的坐标；
③设四边形OBMC的面积为S’，判断是否存在点P，使得S=S’，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）本题需先根据抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，即可求出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式，即可求出顶点M的坐标．
（2）本题需先根据抛物线的解析式，分两种情况进行分析，当x=1时和x=4时y的值，即可求出它们的取值范围．
（3）本题需先根据题意设出直线BM的解析式，再把B与M点的坐标代入，求出直线BM的解析式，从而得出P点的坐标，即求出PQ、OQ、OA、OC的值，得出S的解析式；得出解析式后，求出t的值是多少的时候，S最大，得出P点的坐标，求出S的最大值是多少，即可求出S不等于S′，也就是不存在点P．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴
∴
∴抛物线的解析式是：y=-x2+2x+3
∴抛物线的顶点M的坐标是（1，4）

（2）∵抛物线的解析式是y=-x2+2x+3，
当x=1时，y=4
当x=4时，
y=-5，
∴当1≤x≤4时，-5≤y≤4

（3）①设直线BM的解析式为y=mx+n
把B（3，0），M（1，4）代入得
，
∴
∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，
∴P点的坐标为：（t，-2t+6），
∴PQ=|-2t+6|=-2t+6，
又OQ=|t|=t  OA=|-1|=1，OC=|3|=3，
∴S=S△AOC+S梯形OQPC
=（OC+PQ）×OQ 
=+3-2t+6）×t
=（1≤t＜3）
②S=
=-（）
=-（t-2+
∴当t=时，S最大，
∴S的最大值为，这时P点坐标为（）
③S=×2×4
=+4
=
∴S的最大值为

∴S=S′不可能，
∴不存在点P，使S=S′．