Question

已知抛物线y=-x²+bx-经过点A（7，6），且与x轴交于B、C两点
（1）求b值及B、C两点的坐标；
（2）若直线x=t与抛物线交于P，与线段AB交于点Q，试问当t为何值时，线段PQ 的长最长？最长是多少？
（3）若点D是线段AB上任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E设ADE的高AF的长为小x，以DE为折痕将△ADE翻折，所得的△A’DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y，当0＜x＜6时，求y与x的函数关系式；并求y的最大值．

Answer

（1）把点A的坐标（7，6）代入抛物线解析式计算即可求出b的值，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可写出点B、C的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据抛物线的解析式与直线AB的解析式分别求出点P、与点Q的坐标，线段PQ的长就等于点P的纵坐标减点Q的纵坐标，整理后根据二次函数的最值问题求解即可；
（3）因为AH的长度是6，所以①分0＜x≤3时，△A′DE在梯形DBCE内部，重叠部分的面积等于△A′DE的面积，②3＜x＜6时，点A′在梯形DBCE的外部，重叠部分是一个梯形，求出DE的长度，△A′DE在x轴上两交点之间的距离，以及梯形的高，然后根据梯形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题进行求解，综合两种情况便不难求出最大面积y．
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+bx-经过点A（7，6），
∴-×72+7b-=6，
解得b=，
∴抛物线解析式是y=-x2+x-，
当y=0时，-x2+x-=0，
解得x1=1，x2=10，
∴点B、C的坐标分别为B（1，0），C（10，0）；

（2）设直线AB的解析式是y=kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式是y=x-1，
∴点P的坐标为（t，-t2+t-），点Q的坐标是（t，t-1），其中0＜t＜6，
PQ=-t2+t--（t-1）=-t2+t-=-（t-4）2+3，
∴当t=4时，线段PQ有最长值，最长值为3；

（3）①0＜x≤3时，如图，延长AF交x轴与H，
△A′DE在梯形DBCE内部，重叠部分的面积等于△A′DE的面积
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
即=，
解得DE=x，
∴重叠部分的面积y=S△A′DE=DE•AF=×x×x=x2，（0＜x≤3），
∴当x=3时，y有最大值，最大值y=×32=，
②当3＜x＜6时，点A′在梯形DBCE的外部，重叠部分是一个梯形，如右图，
FH=AH-AF=6-x，A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6，
∵DE∥BC，
∴△A′MN∽△A′DE，
∴=，
即=，
解得MN=3x-9，
∴重叠部分的面积y=S梯形MNED=（MN+DE）•FH=（3x-9+x）（6-x）=（x-4）2+9，（3＜x＜6），
当x=4时，y有最大值，最大值y=9，
9＞，
综上所述，当x=4时，△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积y有最大值，最大值是9．