Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，△ADE经逆时针旋转后与△CDF重合．
（1）指出旋转的中心和旋转的角度；
（2）如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？请说明理由．
（3）现把△CDF向左平移，使DC与AB重合，得△BAH，AH交ED于点G．
①请问平移的距离是多少？此时△BAH能否由△ADE直接旋转得到，若能，请说出怎样旋转（指出旋转的中心和旋转的角度）；若不能，请说明理由．
②线段AH与ED有怎样的位置关系？试说明理由，并求AG的长（精确到0.1）．

Answer

（1）四边形ABCD为正方形，△ADE经逆时针旋转后与△CDF重合，可知旋转中心，旋转角；
（2）由旋转的性质可知，DE=DF，∠EDF为旋转角，可判断△DEF为等腰直角三角形；
（3）①能，旋转中心为正方形对角线的交点，逆时针旋转90°；
②由旋转角为90°可知，线段AH与ED的位置关系为垂直；在△ADE中，利用面积法求AG．
【解析】
（1）∵四边形ABCD为正方形，△ADE经逆时针旋转后与△CDF重合，
∴旋转角∠ADC=90°，旋转中心为点D．

（2）△DEF为等腰直角三角形；
理由：由旋转的性质可知，DE=DF，
旋转角∠EDF=∠ADC=90°
∴△DEF为等腰直角三角形；

（3）①平移距离为2．
此时△BAH能由△ADE直接旋转得到；旋转中心为正方形对角线的交点，逆时针旋转90°即可；
②AH⊥ED；
理由：∵∠BAH=∠ADE，∠BAH+∠HAD=90°，
∴∠ADE+∠HAD=90°，
∴AH⊥ED；
∵AD=2，AE=1，
由勾股定理，得DE==
由S△ADE=×AD×AE=×AG×DE，得
AG==≈0.9．