Question

如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，DE与BC的延长线相交于点F，且FC•FB=FE•FD．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长．

Answer

（1）首先由FC•FB=FE•FD，∠F=∠F可以证明△FCE∽△FDB，然后利用相似三角形的性质得到∠FEC=∠B，又∠AED=∠FEC，由此得到∠AED=∠B，又∠A=∠A，由此即可证明△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE的周长与四边形BCED的周长相等可以得到△ADE∽△ACB的相似比，然后利用已知条件即可求出DE的长．
（1）证明：∵FC•FB=FE•FD，
∴．（1分）
∵∠F=∠F，
∴△FCE∽△FDB．（2分）
∴∠FEC=∠B．（1分）
∵∠AED=∠FEC，
∴∠AED=∠B．（1分）
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．（1分）

（2）【解析】
∵△ADE∽△ACB，
∴，（1分）
∵AB=8，AC=6，BC=4，
∴．
∴．
设AD=3k，AE=4k，ED=2k．（1分）
∵AD+AE+DE=DE+BD+BC+CE，
∴AD+AE=BD+BC+CE=（AB+BC+AC）．（1分）
∴，（1分）
∴（1分）
∴DE=2．（1分）