Question

已知：如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E在边AB上点，CE的垂直平分线FP 分别交AD、CE、CB于点F、H、G，交AB的延长线于点P．
（1）求证：△EBC∽△EHP；
（2）设BE=x，BP=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，求BP的长．

Answer

（1）由于在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE，由此得到∠PHE=∠CBE=90°，又∠BEC=∠HEP，由此即可证明△EBC∽△EHP；
（2）在Rt△BCE中，根据勾股定理得到CE2=BE2+BC2=x2+64，根据（1）得到，而EH=，进一步得到
，由此即可得到等式，变形后即可得到函数解析式，结合已知条件可以确定定义域；
（3）根据（1）知道∠ECB=∠P，而∠EBC=∠GBP=90°，由此可以证明△EBC∽△GBP，接着利用相似三角形的性质得到 GB•BC=BE•BP，接着得到，解方程即可求解．
（1）证明：∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，PH⊥CE，
∴∠PHE=∠CBE=90°（1分）
又∵∠BEC=∠HEP，
∴△EBC∽△EHP；

（2）【解析】
在Rt△BCE中，CE2=BE2+BC2=x2+64．（1分）
∵△EBC∽△EHP，
∴．（1分）
∴BE•EP=EH•EC．
∵EH=．
∴．（1分）
∴，（1分）
∴函数解析式为，（1分）
定义域为0＜x＜8．（1分）

（3）【解析】
∵△EBC∽△EHP，
∴∠ECB=∠P，
∵∠EBC=∠GBP=90°．
∴△EBC∽△GBP．（1分）
∴．（1分）
∴GB•BC=BE•BP．
∴（1分）
∴x=±6（负值不符合题意，舍去），
∴BP=．（1分）