Question

如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=20cm、BD=12cm，两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．
（1）求证：当E、F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF一定为平行四边形；
（2）当E、F运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

Answer

（1）连接DE，EB，BF，FD，根据已知可得AE=CF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证明四边形BEDF为平行四边形；
（2）应考虑两种情况：当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形；当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cm，四边形BEDF为矩形．
（1）【解析】
连接DE，EB，BF，FD
∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动．
∴AE=CF
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分）
∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC
即OE=OF
∴四边形BEDF为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（4分）

（2）当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm，
四边形BEDF为矩形
∵运动时间为t
∴AE=CF=2t
∴EF=20-4t=12
∴t=2（s）
当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cm
EF=4t-20=12
∴t=8（s）
因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形BEDF为矩形．（10分）
说明：如果学生有不同的解题方法．只要正确，可参照本评分标准，酌情给分．