Question

如图，已知四边形ABCD是面积为a的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接各边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，重复同样的方法直至得到四边形A_nB_nC_nD_n．
（1）请直接写出四边形A₁B₁C₁D₁、A₂B₂C₂D₂、A₃B₃C₃D₃的面积（用含a的代数式表示）；
（2）根据以上的规律写出四边形A_nB_nC_nD_n的面积．

Answer

（1）连接AC，根据三角形中位线定理，以及相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得△A1BB1的面积=△ABC的面积，△D1DC1的面积=△ACD的面积，所以△A1BB1的面积+△D1DC1的面积=四边形ABCD的面积，同理可得△A1AD1的面积+△B1CC1的面积=四边形ABCD的面积，所以△A1BB1的面积+△D1DC1+△A1AD1的面积+△B1CC1的面积=四边形ABCD的面积，从而得到四边形A1B1C1D1的面积=四边形ABCD的面积，同理可得A2B2C2D2、A3B3C3D3的面积；
（2）以此类推，根据后一个四边形的面积是前一个四边形的面积的，利用此规律写出即可．
【解析】
（1）如图，连接AC，∵A1、B1分别是AB、BC的中点，
∴A1B1∥AC，且A1B1=AC，
∴△A1BB1∽△ABC，
∴S△A1BB1=S△ABC，
同理，S△D1DC1=S△ACD，
∴S△A1BB1+S△D1DC1=S四边形ABCD，
同理可得，S△A1AD1+S△B1CC1=S四边形ABCD，
∴S△A1BB1+S△D1DC1+S△A1AD1+S△B1CC1=S四边形ABCD+S四边形ABCD=S四边形ABCD，
∴S四边形A1B1C1D1=S四边形ABCD=a，
同理可得：S四边形A2B2C2D2=S四边形A1B1C1D1=×a=a，
SA3B3C3D3=S四边形A2B2C2D2=×a=a；

（2）根据（1）的规律，后一个四边形的面积是前一个四边形的面积的，
∴四边形AnBnCnDn的面积是：（）na．