Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+3与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A，O为坐标原点，P是二次函数y=x²+bx+3的图象上一个动点，点P的横坐标是m，且m＞3，过点P作PM，PM交直线AB于M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以AB为直径的⊙N恰好与直线PM相切，求此时点M的坐标；
（3）在点P的运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求出点P的坐标；若不能请说出理由．

Answer

（1）将点B（3，0）坐标代入y=x2+bx+3即可得到二次函数的解析式；
（2）先求出C点坐标和⊙C的半径，根据CD=CA=CB便可求出D点坐标，进而求得点M的坐标；
（3）△APM为等腰三角形则分别讨论PA=PM，PM=AM，PA=AM三种情况，得出符合条件的解即为点P的坐标；
【解析】
（1）将点B（3，0）坐标代入y=x2+bx+3得：0=9+3b+3，
解得b=-4，
∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3；

（2）令x=0，则y=3，∴A点坐标为A（0，3），
直线AB的解析式为y=-x+3，
C为⊙C的圆心，CA=CB=，
故C点坐标为（，），
过C作CD⊥PM于点D，CD=CA=CB=，
∴D点坐标为（，），
xM=，
将xM=代入y=-x+3得yM=，
∴点M的坐标为（，）；

（3）若△APM为等腰三角形，进行分类讨论；
①当PA=PM时，P（m，m2-4m+3）则M（m，-m+3），
|PM|=|m2-3m|，|PA|=，|AM|==；
由PA=PM可得|m2-3m|=，
解得m=4，m2-4m+3=3，
则P点坐标为P（4，3），
②当PA=AM时，=m，
解得m=3，或m=5，
当m=3时，m2-4m+3=0，由题意可知m＞3，故m=3不合题意；
当m=5时，m2-4m+3=8，
故点P坐标为（5，8），
③当PA=AM时，|m2-3m|=m，
解得m=3+或m=3-，
由题意可知m＞3，故m=3-舍去，
当m=3+时，m2-4m+3=2+2，
故点P坐标为（3+，2+）．