Question

已知：如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．
（1）求EC：CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由．

Answer

（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠1=∠2，即可证得：△ABE∽△EFC，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EC：CF的值；
（2）首先作辅助线：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，利用ASA，易证得：△AME≌△PCE，则可证得：AE=EP．
【解析】
（1）∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴EC：CF=AB：BE=5：2；

（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME．
∴AM=CE．
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°．
∵CP是外角平分线，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°．
∴∠AME=∠ECP．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AME≌△PCE（ASA）．
∴AE=EP．