Question

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴于点C，点D为对称轴l上的一个动点．
（1）求当AD+CD最小时，点D的坐标；
（2）以点A为圆心，以AD为半径作⊙A
①证明：当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切．
②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标______．

Answer

（1）由抛物线解析式得到其对称轴，A，B两点坐标，根据两点之间线段最短求得；
（2）①由（1）所得证直线BD与⊙A相切即证AD⊥BD，根据勾股定理求得BD2+AD2=AB2；
②由①所证可知点D的另一个坐标与（1）中点D的坐标关于AB即x轴对称．
【解析】
（1）因为点A关于l的对称点是点B，所以连接BC，交l于点D，即为所求点．
由抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
则对称轴为：x=1．
当-x2+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1．
∴点A（-1，0），点B（3，0），
抛物线y=-x2+2x+3当x=0时，y=3，
∴点C（0，3）．
设直线BC为：y=kx+b，
代入点B，C得：k=-1，b=3，即y=-x+3，
代入对称轴x=1，则y=2，
∴点D（1，2）．

（2）①由题意如图，
∵A，B关于l对称，
∴AD=BD，BE=2，AB=4，DE=2，
则BD=AD==2，
∴BD2+AD2=16，
∵AB2=16，
∴BD2+AD2=AB2，
由勾股定理的逆定理知，∠ADB=90°，即AD⊥BD．
故当AD+CD最小时，直线BD与⊙A相切．
②由①所得点D的另一个坐标（1，-2）．