Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）证明△DPC∽△AEP；
（2）当∠CPD=30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据等角的余角相等，得∠1=∠3，根据两个角对应相等即可证明相似；
（2）根据30°直角三角形的性质，得PC=8，再根据勾股定理求得DP的长，总而利用相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）根据相似三角形周长的比等于相似比进行分析．
【解析】
（1）证明：在△DPC、△AEP中，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠3，（1分）
又∠A=∠D=90°，（1分），
∴△DPC∽△AEP．（1分）

（2）∵∠2=30°，CD=4，
∴PC=8，PD=（2分），
又∵AD=10，
∴AP=AD-PD=10-4，
由（1），得=10-12；

（3）存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，（1分）
∵相似三角形周长的比等于相似比，设=2，
解得DP=8．（2分）