Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧，且AB=8），与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x²-14x+48=0的两个根．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧，且AB=8），与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-14x+48=0的两个根．
求出两根，根据题意得出A，B，C的坐标，从而可求出抛物线的解析式．
（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，证明出相似三角形以及根据相似三角形的对应线段成比例，和三角函数的运用，以及根据三角形的面积的差做为等量关系求出s和m的函数式．
（3）在（2）的基础上试说明S存在最大值，可求出S的值，并且可知道△BCE是等腰三角形．
【解析】
（1）解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8，
由题意得
A（-6，0），C（0，8），B（2，0）…（3分）
∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上，∴c=8，
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式，得，
解得    ．
∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8； …（2分）

（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=即=，
∴EF=． …（1分）
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG=sin∠CAB=，
∴=，
∴FG=•=8-m，
∴S=S△BCE-S△BFE=（8-m）×8-（8-m）（8-m）
=（8-m）（8-8+m）=（8-m）m=-m2+4m． …（2分）
自变量m的取值范围是0＜m＜8； …（1分）

（3）存在．
理由：∵S=-m2+4m=-（m-4）2+8且-＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8． …（2分）
∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0），
∴△BCE为等腰三角形． …（1分）