Question

如图，△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且=，求∠B的大小．

Answer

（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF；
（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；
（3）当四边形AECF是正方形时，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，则AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=2OA=AE，根据=，可得：tanB==，故∠B=60°．
【解析】
（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．

（3）当四边形AECF是正方形时，AO⊥EF，
∵BC∥EF，
∴AC⊥BC，AC=AE，
∵=，
∴BC=AE，
∴tanB===，
∴∠B=60°．