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如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动...

如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.

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(1)首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°,得到一对对应角相等;再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,从而证明∠EDC=∠BAD,根据两个角对应相等,得到两个三角形相似; (2)根据等腰三角形的定义,此题要分三种情况进行分析讨论.根据等腰三角形的性质进行计算. (1)证明:Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2, ∴∠B=∠C=45°. ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC, ∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD. 又∵∠ADE=45°, ∴45°+∠EDC=45°+∠BAD. ∴∠EDC=∠BAD. ∴△ABD∽△DCE. (2)【解析】 讨论:①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意. ②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE, 于是AB=AC=2,BC=2,AE=AC-EC=2-BD=2-(2-2)=4-2 ③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°, 如下图所示易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=AC=1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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