Question

如图，已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB=110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°，得△ADC，连接OD．
（1）当∠BOC=150°时，△ADO是    三角形．
（2）当∠BOC=    度时，△ADO是等腰三角形．

Answer

（1）根据旋转的性质，易证△BOC≌△ADC，由∠CDO=60°，得△COD是等边三角形，∠ADO=150°-∠CDO=90°，可判断△ADO为直角三角形；
（2）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°-∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．
【解析】
（1）△AOD为直角三角形．理由如下：
根据旋转的性质，易证△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=150°，△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形．

（2）设∠BOC=α，
因为△AOD是等腰三角形，
所以分三种情况：①∠AOD=∠ADO，②∠ODA=∠OAD，③∠AOD=∠DAO；
∵∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠BOC=190°-∠AOD，即∠AOD=190°-α；
而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO=∠ADO+60°，即∠ADO=α-60°；
∵∠OAD+∠ADO+∠AOD=180°，
∴∠OAD+190°-α+α-60°=180°，
∴∠OAD=50°，
①当∠AOD=∠ADO，即190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②当∠ODA=∠OAD，即α-60°=50°，
∴α=110°；
③当∠AOD=∠DAO，即190°-α=50°，
∴α=140°；
综上可知，α=125°或110°或140°．
故答案为：（1）直角；（2）110°或125°或140°．