Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标为（8、0），tan∠ABC=，△ABC的面积为8，
（1）求：抛物线的解析式；
（2）若动直线EF（EF∥x轴），从C点开始，以每秒1个长度单位的速度向X轴方向平移，与x轴重合时结束，并且分别交y轴、线段CB于E、F两点．动点P同时从B点出发在线段OB上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，运动到O点结束，连接FP，设运动时间为t秒，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，设AC与EF交于点M，求当t为何值时，M、P、A、F所围成的图形是平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形？

Answer

（1）在Rt△ABC中，由于B点坐标为（8、0），tan∠ABC=，由此可以求出OC的长度，也就求出C的坐标，又△ABC的面积为8，由此可以求出线段AB的长度，然后就可以求出A的坐标，最后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）存在，首先可以分别求出BA、AC、BC的长度，同时也可以用t分别表示BP、BF的长度，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（3）根据（2）MF∥AP，同时BP=2t，，那么AP也可以用t表示，然后分别利用平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形的性质即可的关于t的方程解决问题．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∵B点坐标为（8、0），tan∠ABC=，
∴OB=8，
而tan∠ABC==，
∴OC=4，
∴C（0，4），
又∵△ABC的面积为8，
∴8=×4×AB，
∴AB=4，即OA=OB-AB=8-4=4，
∴A（4，0），
依题意得，
解之得：a=，b=-，c=4，
∴；

（2）存在，根据（1）得BA=4，AC=，BC=4，
依题意得：BP=2t，
∵CE=t，tan∠ABC=，
∴EF=2t，∴CF=t，
∴
由△BPF∽△BAC得，得t1=
由△BPF∽△BCA得化简，
所以：t1=；

（3）根据（2）得BP=2t，MF∥AP，
又直线AC经过A（4，0），C（0，4），那么其解析式为：y=-x+4，
而动直线EF（EF∥x轴），从C点开始，以每秒1个长度单位的速度向x轴方向平移，与x轴重合时结束，并且分别交y轴、线段CB于E、F两点，AC与EF交于点M，M的纵坐标为4-t，
∴M的横坐标为t，
而EF：OB=CE：OC，
∴EF=2t，
∴MF=2t-t=t，AP=OB-OA-BP=8-4-2t，
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形，那么MF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=；
若M、P、A、F所围成的图形是等腰梯形，那么AM=PF，
∴t=，
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形，
那么AP重合，
∴t=2．