Question

如图，二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．
（4）求出当x为何值时P有最大值？

Answer

（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=-mx2+4m，求得m=，即可求得抛物线的解析式．
（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点．
（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．
（4）此题就是将p关于x的解析式看成抛物线的解析式，求其顶点即可．
【解析】
（1）∵二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m=，所以次抛物线的解析式为：y=-x2+2．

（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又由抛物线关于y轴对称，
所以D、C点关于y轴分别与A、B对称．
所以AD的长为-2x，AB长为y，
所以周长p=2y-4x=2（-x2+2）-4x=-（x+2）2+8．
∵A在x轴的负半轴上，
∴x＜0，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）2+8，其中-2＜x＜0．

（3）不存在，
证明：假设存在这样的p，即：
9=-（x+2）2+8，
解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．

（4）由p=-（x+2）2+8，且-2＜x＜0．
故p没有最大值．