Question

如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x²（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有    个．

Answer

此题应分四种情况考虑：
①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
【解析】
①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，设A坐标为（a，b），
在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°==，
设直线OA的方程为y=kx，把A的坐标代入得k==，
所以直线OA：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故A（，）；
②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故P（，3），那么A（3，）；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
故P（，3），
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
故A（2，2）；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
∴P（，），
∴QP=，OP=，
∴OH=QPQP=，AH=OP=，
故A（，）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（，）或（3，）或（2，2）或（，）．
故答案为：4．