Question

如图，ABCD是面积为a²的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接A₁B₁C₁D₁各边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，重复同样的方法直到得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为    ．

Answer

连接对角线，运用三角形中位线定理探索规律求解．
【解析】
连接AC，BD．
∵四边形A1B1C1D1是顺次连接各中点得到的，
∴===，
故△BB1AI∽△BCA，相似比为，面积比为，即S△BB1AI=S△BCA，
同理可得S△DD1C1=S△DD1C1，即S△BB1AI+S△DD1C1=（S△DD1C1+S△BCA）=S四边形ABCD，
同理可得S△CC1B1+S△AA1D1=S四边形ABCD，故
S△BB1AI+S△DD1C1+S△CC1B1+S△AA1D1=S四边形ABCD，
则S四边形A1B1C1D1=S四边形ABCD=，
同理可得第二个小四边形的面积为×即．
第三个面积为，以此类推第n个四边形的面积为．