Question

如图所示的拱桥，用表示桥拱．
（1）若所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图
痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R．

Answer

（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心；
（2）首先连接OA，由（1）可得：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH=4，即可求得AH的长，然后在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2=AH2+OH2，即可求得拱桥的半径R．
【解析】
（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分）

（2）连接OA．（如图2）
由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH=4，
∴AH=AB=8．（3分）
∵GH=4，
∴OH=R-4．
在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2=AH2+OH2，
∴R2=82+（R-4）2．（4分）
解得：R=10．（5分）
∴拱桥的半径R为10m．