Question

如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=3，∠A=30°，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OD．证明DE⊥OD即可．根据三角形中位线定理可证；
（2）可证∠C=∠ADO=∠A=30°．连接BD可得△BCD为直角三角形，解之可求BE、BC的长度，根据中位线定理求OD得解．
（1）证明：连接OD．（如图1）
∵D为AC中点，O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（1分）
∴OD∥BC．
∴∠ODE=∠DEC．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（2分）
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）

（2）连接BD．（如图2）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∴BD⊥AC，∠CDE+∠BDE=90°．
∵点D是AC的中点，
∴AB=BC．
∴∠A=∠C=30°．
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠CDE=90°．
∴∠C=∠BDE=30°．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（4分）
∴DE=CE•tan30°=3×=，
 BE=DE•tan30°=×=1．
∴BC=1+3=4．
∴OD=BC=2．
即⊙O的半径为2．（6分）